Математический цветник розы гвидо гранди википедия

Геометрические формы в искусстве.

Графы и их применение в архитектуре.

1.1. История математических открытий, биографии ученых-математиков.

1.3. Математика и естественные науки.

1.7. Происхождение, развитие и применение человечеством арифметики.

2.1. История статистики и теории вероятностей.

2.3. Теория вероятностей – математическая наука о случайном и закономерностях случайного.

2.6. Виды диаграмм (столбчатые, круговые, рассеивания) и их использование при обработке данных научных исследований по физике, химии, биологии и географии.

2.7. Описательная статистика в естественных, гуманитарных и социальных науках и прикладных научных дисциплинах (среднее знечение, медиана, наибольшее и наименьшее значение, размах, отклонения, дисперсия, генеральная совокупность, выборка).

2.13. Наблюдения – основа экспериментального способа определения вероятности.

2.14. Математическое описание случайных явлений (на примере естественнонаучных исследований).

2.15. Элементы комбинаторики в естественнонаучных исследованиях. 2.16. Геометрическая вероятность в естественнонаучных исследованиях.

3.6. Математическое моделирование физических явлений.

3.8. Использование таблиц и диаграмм в физике.

4.1. История применения математических методов в химии.

4.4. Роль статистики и теории вероятностей в развитии химии.

4.7. Использование таблиц и диаграмм в химии.

Раздел 5. «Математика в биологии и медицине»

5.3. Математическое моделирование биологических процессов.

5.6. Использование методов математической статистики в биологии и медицине.

5.8. Симметрия в живой природе.

Раздел 6. «Математика в экологии»

6.2. Роль математики в развитии экологии как науки.

6.3. Математическое моделирование природных процессов.

6.5. Математическая статистика и теория вероятностей в экологии.

6.8. Математические методы в экологической экспертизе.

6.9. Математика и экологический мониторинг.

Раздел 7. «Математика в географии»

7.2. Роль математики в построении географической карты.

7.5. Математическое моделирование социально-экономических процессов в Мировом хозяйстве.

8.2. Вычисление затрат и расходов, производительности труда, валовой и чистой прибыли (на примере производства или сферы услуг).

Источник: http://gigabaza.ru/doc/133427.html

Примерная тематика исследовательских работ по математике

Примерная тематика исследовательских работ по математике.

18. Математические характеристики египетских пирамид

19. Математические головоломки и кроссворды

20. Чудо — задачник.

22. Несколько способов доказательства теоремы Пифагора

24. Прямая и обратная операции в математике

25. Решение логических задач

26. Единые законы математики, искусства и природы

29. Использование оригами в жизни человека

31. Искусство составлять уравнения.

32. Диофантовы уравнения.

37. Эллиптическая криптография и эллиптические кривые

39. Суммы цифр последовательности натуральных чисел

40. О решении одной задачи комбинаторной геометрии

42. Решения уравнений в целых числах. Некоторые диофантовы уравнения

43. Замечательные кривые

44. Формула площади треугольника и ее прикладное значение

45. Правильные многогранники

46. Шахматы в математике

48. О биноме Ньютона и не только

53. Имеет ли фигура нужную форму

55. Несколько способов решения одной задачи

56. Делимость без деления

57. Нестандартные признаки равенства треугольников

58. Проективная плоскость и ее модели

61. Координаты на поле

62. Оптимизация без использования производной

81. Уроки дедушки Гаврилы или развивающие каникулы

82. Как найти центр и радиус круга?

83. Человек – всему мера!

84. Квадратные уравнения

87. Вариации на тему Фибоначчи

109. Задача о переливаниях

110. Задача о разрезании любой доски на прямоугольники

111. Задачи по геометрии. Свойства диагоналей трапеции

113. Точки Брокара

117. Математический цветник средствами программы Microsoft Excel

119. Геометрические задачи с ограничениями

122. Исследование игры «Перекладывание камней»

125. Продолжая урок геометрии

126. Фрактал в окружающем нас мире

127. Арифметика остатков и антимагические квадраты

128. Пропорция и золотое сечение

129. Элементарные построения на клетчатой бумаге

130. Путешествие по замкнутым поверхностям

131. Многоугольники Жергонна и Нагеля

133. Исследование перспектив решения транспортных проблем города Семенова с использованием логистики

134. Загадки таблицы умножения

136. Квадрат Пирсона в решении задач на сплавы, растворы и смеси

143. Геометрия на ограниченной плоскости

157. Орбитальные оригами и стабилизаторы ступенчатых оригами

160. Почти центры симметрии – клеточные автоматы и двоичное кодирование

163. Архимедовы треугольники

164. Асимптотические формулы для частичных сумм почти гармонических рядов

165. Верхняя оценка 0(2к/2) для задачи МАХ-2-XSAT

166. Верхняя экспоненциальная оценка 0(2m/2,464965) работы алгоритма расщепления для задачи выполнимости булевой схемы

171. Квадратные палиндромы

174. О числе целых точек в областях

175. Об одной задаче Гупты: перестановки n натуральных чисел

176. Преобразование строк и таблиц

177. Свойства делимости членов последовательности Фибоначчи

178. Слабые признаки равенства фигур

Источник: http://www.pandia.ru/text/79/126/22005.php

Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением. Данная функция периодическая с периодом π. Кроме того. поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Рассматриваемая функция на отрезке [0;] монотонно возрастает с 0 до 1, а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки  центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Рисунок 1  График «розы»

Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости различных значений параметров n, k, m, мы установили связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка [3,4,5,6]. Исследования проводились с целью разработки контента информационнообразовательной среды [7,8,9] кафедры ОНД АМТИ.

Норден А.П. Дифференциальная геометрия 2-е изд. — Москва, Физматгиз, 1988. — 244 с.

Горовенко Л.А. Демьянко А.В. Математический цветник: розы ГвидоГранди // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 7781.

Горовенко Л.А. Довгалёв А.Ю. Исследование параметров уравнения циклоиды // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 8184.

Горовенко Л.А. Голиус Д.А. Уравнение циклоиды и его приложения в инженерных науках // Сборник докладов победителей и лауреатов XXII студенческой научной конференции АМТИ. Армавир: ООО «Редакция газеты «Армавирский собеседник», подразделение Армавирская типография», 2016.  С. 7377

Горовенко Л.А. Экспертно-обучающие системы оценки знаний, умений, навыков как основа компьютерной технологии обучения // Научный потенциал вуза — производству и образованию: сборник трудов по материалам межвузовской научно-производственной конференции, посвящённой 90-летию КубГТУ.- Армавир: Изд. АМТИ, 2008. С 342-344.

Горовенко Л.А. Построение информационно-образовательной среды с элементами искусственного интеллекта: Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. тех. наук: (05.13.01)/Горовенко Любовь Алексеевна; [Куб. гос. тех. ун-т]. -Краснодар, 2002. -24 с.

Перейти к обсуждению работы

Задачи механического происхождения. (Геометрия масс, экстремальные задачи) Математический бильярд

Раздел 1. «История математики»

1.6. Математика и искусство.

1.8. Происхождение, развитие и применение человечеством геометрии.

1.9. Происхождение, развитие и применение человечеством алгебры.

2.4. Работа со статистическими данными в таблицах (на примере физики, химии, биологии, социологии и др.).

2.9. Статистические исследования в антропологии и социологии. 2.10. Колоколообразные кривые в статистике (на примере естественных и социальных наук).

2.17. Числовые характеристики случайных величин. Случайные величины в статистике.

2.18. Измерение вероятностей. Точность приближения.

2.19. Закон больших чисел и его прикладное значение.

3.5. Симметрия в неживой природе

Раздел 4. «Математика в химии»

4.5. Математические методы в химическом производстве.

4.6. Математические интерпретации Периодического закона химических элементов Д.И.Менделеева.

4.8. Прикладная стереометрия в химии – создание пространственных молекул органических веществ.

5.4. Математическое моделирование патологических процессов.

5.7. Расчет по формулам и уравнениям в биологии и медицине.

5.9. Прикладная геометрия в проектировании парков и садов.

5.10. Прикладная математика в протезировании.

6.4. Математические моделирование действия антропогенных факторов на природные системы и процессы.

6.7. Использование таблиц и диаграмм при обработке результатов экологических исследований.

7.3. Математическое моделирование климата планеты Земля.

7.6. Математическое моделирование глобальных проблем человечества в прошлом, настоящем и будущем.

7.9. Использование таблиц и диаграмм при обработке результатов исследований в экономической и социальной географии.

7.10. Математические методы в глобальных социально-экономических прогнозах развития Мирового хозяйства.

Раздел 8. «Математика в экономике»

8.1. Доходы и расходы семейного бюджета (расчетные задачи с экономическим содержанием).

8.3. Определение математических параметров «потребительской корзины» в условиях крупного города.

8.4. Графики изменения рыночной ситуации в Мировой экономике в результате колебания цен, спроса и предложения на товары и услуги.

9.1. Золотое сечение в изобразительном искусстве и архитектуре.

9.3. Математические основы построения кадра в фото- и киноискусстве.

9.4. Ритмика в музыкальном искусстве и ее влияние на человека.

1. Геометрические формы в искусстве.

2. Графы и их применение в архитектуре.

3. Матричная алгебра в экономике.

4. Задачи механического происхождения. (Геометрия масс, экстремальные задачи)

5. Математический бильярд.

16. Построение плоских кривых в полярных координатах

17. Математический цветник: розы Гвидо Гранди

21. 13 способов решения квадратных уравнений

23. Виды задач на логическое мышление

27. Математика и законы красоты

28. Математика вокруг нас

30. Линейная функция в математике и физике

33. Треугольник Паскаля.

34. Вектор в математике и физике.

35. Применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение

36. Математика и спорт

38. Геометрия в архитектуре Англии.

41. Функциональные методы решения уравнений

47. Применение метода Декарта для решения уравнений 3-й и 4-й степени

49. Вторая средняя линия трапеции

50. Семеновский район в текстовых задачах

51. Математические задачи, содержащие инвариант, и пути их решения

52. Первые шаги в мир фракталов

54. Геометрические равенства и неравенства

59. Измерение высоты предмета

60. «Можно ли выйти сухим из воды»

63. Поиск выгодного тарифа сотовой связи

78. Числовые суеверия

79. Цифровая структура чисел в арифметической прогрессии

80. Узлы, зацепления, полином Конвея

85. Еще об одной комбинации игр

86. Теоретико-числовой подход к решению задач на целочисленных решетках

107. Наибольшие и наименьшие значения в школьном курсе математики

108. Лист Мебиуса и бутылка Клейна как объекты топологии

112. Построение фракталов

114. Симметрические квадраты симметричных чисел

115. Вероятность выигрыша в лотереях

116. «Золотое сечение» в архитектуре Воложинского района и г. п. Ивенец

118. Визуализация данных на примере нашего класса

120. Звезда как геометрическая конфигурация

121. Серединка на половинку. Площади многоугольников

123. Многозначные числа и их разности

124. Графическое решение кубических уравнений

132. Линии одним росчерком

135. Арифметические прогрессии

137. Использование графиков и диаграмм для исследования влажности воздуха в кабинете

138. Треугольники, вписанные в гиперболу и параболу

139. Демография и функциональная зависимость

140. Восстановление фигур

141. Аффинные задачи планиметрии

142. В поисках оптимального раскроя

158. Палиндромы

159. Последовательности в таблицах

161. Слабые признаки правильных многоугольников

162. Угадывание чисел

169. Задача об экстремальных свойствах НОД и НОК на последовательностях

170. Задача про бусы

172. Многомерные последовательности Фибоначчи

173. Незаконное сокращение

179. Сложение палиндромов и квазипалиндромов

В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) описал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди.

Розы Гвидо Гранди имеют свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как, то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1 [1,2].

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трёхлепестковая роза).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Обратим внимание на то, что, поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin(3) ≥0, решая которое получим область допустимых углов.

В силу периодичности функции sin(3) (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке. а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть. Если угол изменяется от 0 до 1, то изменяется от 0 до 1, и, следовательно, радиус также изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от до. то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до. точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до .

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Графики роз Гвидо Гранди для основных уравнений и r=n∙sin((c/b)∙ представлены на рисунках 1 и 2.

Рисунок 2  График «розы»

Гильберт Д. Наглядная геометрия. М.-Л. ОНТИ, 1986  304 с.

Часов К.В. Вандина А.И. Обучающий интерактивный документ по изучению графиков функций // Успехи современного естествознания. – 2013. – № 10. – С. 101-104; URL: http://www.natural-sciences.ru/ru/article/view?id=32985 (дата обращения: 23.08.2016).

Источник: http://www.scienceforum.ru/2017/2614/32833

Матричная алгебра в экономике.

Задачи механического происхождения. (Геометрия масс, экстремальные задачи)

1.2. Математика и философия.

1.4. Математики и социальные науки.

1.5. Математики и гуманитарные науки.

1.10. Тригономерия и история человечества.

Раздел 2. «Статистика и теория вероятностей»

2.2. Роль статистики в научном исследовании.

2.5. Вычисления в таблицах при обработке данных научных исследований по физике, химии, биологии и географии.

2.8. Случайная изменчивость в живой природе.

2.11. Точность измерений при проведении научных исследований (на примере физики, химии и биологии).

2.12. Вероятности и частоты.

Раздел 3. «Математика в физике»

3.1. История применения математических методов в физике.

3.2. Измерение физических величин. Погрешности измерений.

3.3. Расчет по формулам и уравнениям физических явлений.

3.4. Физические законы и теории: границы применимости.

3.7. Роль статистики и теории вероятностей в развитии физики.

4.2. Расчет по формулам и уравнениям в химическом синтезе.

4.3. Математическое моделирование химических процессов.

4.9. Математические методы в кристаллохимии.

5.1. История применения математических методов в биологии.

5.2. История применения математических методов в медицине.

5.5. Расчетные, вычислительные эксперименты в биологии.

6.1. История применения математических методов в экологии.

6.6. Расчет по формулам и уравнениям в экологии.

7.1. История применения математических методов в географии.

7.4. Математическое моделирование природно-антропогенных комплексов суши и Мирового океана.

7.7. Математическая статистика и теория вероятностей в экономической и социальной географии.

7.8. Расчет по формулам и уравнениям в экономической и социальной географии.

Раздел 9. «Математика в искусстве»

9.2. Математические основы построения композиции, пространства и объемов в изобразительном искусстве.

Тема: «Математические головоломки»

Войтюк Н.В.,

учитель математики

высшей категории

2012 г.

ПЛАН

Введение ………………………………………………………………3

Глава I . Логика в математике

§ 1.1. Логические задачи и их типы……………………. ……….…5

§ 1.2. История происхождения загадки……………………………..5

§ 1.3. Задачи со спичками……………………………………………..6

§ 1.4. Криптарифмы………………………………..…………………..7

§ 2.1. Что такое ребус………………… …………………………….…..9

§ 2.2. Правила составления ребусов………………………………. 10

Заключение……………………………………………………………..13

Список литературы……..……………………………………………..14

Приложение…………………………………………………………..…15

ВВЕДЕНИЕ

Математика принадлежит к числу наук, имеющих громадное значение для выработки умения логически мыслить, делать обобщения.

Н.К.Крупская

Вам, очевидно, приходилось слышать такие выражения:

«В его рассуждении нет логики», «Он не умеет логически мыслить». Что бы это значило? А это означает, что человек не владеет правилами науки о законах мышления, называемой логикой, другими словами, он не умеет мыслить последовательно, связно, доказательно, т. е. мыслить логически.

Есть такая наука, она называется логикой, которая учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определённым, связным, последовательным, доказательным и непротиворечивым.

Воспитанию логического мышления в значительной степени способствуют занятия математикой.

Вообще нелогических задач нет, так как каждой задаче присущи последовательность, взаимосвязь фактов, аргументированность, и поэтому при решении ее последовательно переходят от одного суждения к другому.

Мы же к логическим задачам отнесли те, при решении которых главное, определяющее это отыскание связей между фактами (часто скрытых), сопоставление их, установление для достижения поставленной цели цепочки суждений, а вот вычисления играют здесь как бы вспомогательную роль (немало задач вообще без числовых данных).

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. А нас очень заинтересовали логические задачи, с которыми мы столкнулись на занятиях в математическом кружке. И мы решили узнать о них больше.

В век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не сыграть ли в игру, кто больше разгадает загадок или решит разного типа логические задачи, решения которых не требуют сложных математических вычислений? Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект. А мышление – высшая ступень познания человеком действительности. Решение загадок всегда пойдет на пользу. А задачи для мозга можно без проблем найти и в глобальной сети Интернет и в книжках.

Но не у всех дома есть Интернет, и не все покупают такого рода книжки. Решение данной проблемы и является целью нашей исследовательской работы, в ходе которой мы должны собрать как можно больше материала о логических задачах, чтобы в дальнейшем мы могли их предложить своим друзьям, одноклассникам, родителям, знакомым. Тем самым помочь с пользой провести их свободное время, а также привить интерес к логическим задачам и развить их математическое мышление.

Наша работа «Математические головоломки» состоит из двух частей, введения, заключения, приложения.

В первой части мы рассматриваем вопросы:

Логические задачи и их типы

История происхождения загадок

Источник: http://gigabaza.ru/doc/78263.html

Цель работы — исследовать розы (кривые) Гвидо Гранди.

Кроме привычной для нас прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные координаты. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения "полярных" объектов. Живой организм "начинается" из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере, такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию "математических", "полярных" форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе. 1

Полярная система координат. В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом. образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел. Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме. уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида, которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных. Для полюса. угол произвольный. 2

Связь между полярной и декартовой системами координат. Точка О — полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ — называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F — полярный угол.

Если известны полярные координаты R и. точки М. то можно уставить связь с её декартовыми координатами. Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ =R. ЕОМ =. катет ЕМ = у. катет ОЕ = х координаты точки М .Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы. Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора. затем. 3 Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

2.Классификация плоских кривых.

Источник: http://school-science.ru/1017/7/192

??????

?????? ??? ????? ? ?????????????? ???????, ???????????? ? ?????? ???????? ?????????? ????????.

???????

??????? ? ??????????????? ?????????, ????? ? ??????? ?? ???????. ?????? ????????? ???????? ? ?????????. ??????? ?????? ????????, ????????????, ????? ???? ?????? ???????????.

?????? ????????

?????? ???????? — ??????????? ?????-?????????, ??????? ? ?????????, ???? ?? ?????????? ???????????? ?????? ?????, ????????????? ? ?????????????? ??????.

???? ????? ?????? ??????

???? ????? ?????? ?????? ? ??????????? ?????????, ????????? ????????? ????? ??????????????? ??????? ? ?????? ????? ? ?????? ???????. ?? ??????? ? ????? ? ?????? ? ??????????????? ?????. ?? ??????????? ?????? ??? ?????????; ????? ?? ?????????? ? ??????????????? ????? ? ?????? ?? ?????.

    ???????? ?????????? ???????:
  • — ??????? ??????? ? ??????, ?????????????? ????????? ?? ???????????? ???????;
  • — ????????? ?????????? ????? ? ???????? ???????;
  • — ? ?????????????? ??????? ???? ??????? ???????????? ??? ?????????? ????????? ??????;
  • — ? ?????? ????? ??????? ??????? ? o?????? ? ?????????????? ???? ???????? ????? ?? ???????? ???????????.

????? ?????????? ??????

???????? ?????????? ?????????? ???????? ???? ????????? ?????? ???????????????? ????????? ? ?????????? ?????????? ? ???????????????? ????????????. ?????? ????? ??????? ??????? ?? ??????? ???????? ????????? ? ???, ??? ??? ???????? ????? ????????????? ?????? ??? ????????????? ??????? ??????. ????????? ? ????????????? ?????? ??????? ????????? ?????????????? ?????. ?? ?????? ????? ??????????? ? ????????? ? ?????? ???????????. ?? ??????? ??? ?????????? ?????????????? ??????? ? ?????????????? ?????????????.

????? ??????

???????? ?????????. ?? ???????? ???????? ??? ????????? ?????? ????????, ??????? ???????????? ?????? ? ??????????.?????????? ?????? ?????????? ?????????? ??????? ???????????? ????????? ?????, ??? ??? ?????????? ????? ??????. ?????? ?????? ?????????? ?????? ?????????? ???? ???????????. ?????? ?? ?? ???? ????????? ?????? L, ??? ????? ???? ??????? ? ???? ???????????, ?? ???? ? ????? ??????????? ?????????? ???????????? L’, ???????????? L. ????? ??????? ???? ??????????? ???????? ????????????? ??????? ?????????? ??????.

???????

??????? ????? ???????????? ? ???????? ???????? ? ?????????????? ???????. ?????????? ?????????? ?????, ????? ????, ???? ?????, ????????? ?????? ? ?????? ????????, ?????????? ????? ?????? ???? ? ???? ? ?????? ??????? ??????? ?????????? ???????? ????? ??????? ?, ??????????? ???????????, ????????? ??????? ??? ???????????? ???????????? ??????? ?????.

?????? ???????????? ??????? ???????????? ?????? ?????? ??? ???? ????? ?????????? ????? ????? ????? ?????? ????? ? ???????? ???? ?????? ?? ??????. ?????? ??????? ?? ?????? ????????? ??????, ??????????? ?????????, ?????????? ???????? ??????, ??????????????? ? ???, ??? ???? ????????? ??? ?? ?????? ???????? ?????? ?? ??????, ?? ? ????????? ????? ????????? ?????? ? ? ?? ?????????? ???????? ?????????????? ????????????? ???????????? ????????????. ?? ?? ??? ???? ??? ?????? ?? ???? ???????????? ????????? ?????, ??????? ??????????? ?????????? ??????. ??????, ???????????? ????????? ???????? ????????? ??????????, ??? ? ???? ??????? ?? ????????? ??????? ?? ???????? ??????? ??????? ??????????, ?? ?????? ??? ? ?????? ?????. ????????????? ??????????? ??????????? ??? ?????????? ???? ????? ? ???? ??????? ???????? ???????, ?????????????? ??????? ? ???????????. ??? ?????, ????????, ?? ??????????? ????????? ?????????????? ???????? ? ????????? ?????, ???????? ?? 17 ? 20 ????? ?? ?????? ????? ??? ?????????? ??????????? ????? ? ???????? ???????? ??????? ??????????? ??? ????? p, ?????? 3, 1604. ?? ???? ? ?????????????? ?????????? ??? ????? ????? ??????????? ?????? ? ??????, ????????? ? ?????? ????????? ??????????? ???????? ????????????.

???? ?????? ????????, ??? ?????? ???? ???????? ???????? ? ?????????, ?????????? ? ???? ??? ??????????? y^2=2px ? xy=c, ? ??????????? ??? ???????? ??? ????????? ?????? ???????? ????. ? ????????? ??? ?????? ????????? ?? ?????? ?????????? ??????? ???? ???????. ????? ?? ????? ?? ??? ?????? ?????????? ???????? ???????, ??????????? ???? ???? ? ???????????????? ???????,?? ??????? ????? ??????????? ?????? ??? ????? ????? ??????????) ?????? ? ?????????? ????????. ??????? ????? ?????? ? ?????????? ???????? ????????. ????????? ??????, ????????? ? ?????? ? ? ??????????, ??????????? ?? ??????? ??? ??????? ??? ?? ????????, ?? ????????? ? ??????? ???????. ?????? ??? ???????? ? ?????????? ???????? ???? ??? ???????????. ?????? ???????????? ????????? ?????????? ??????? ??????????? ????????? ????????? (3 ? 2 ?. ?? ?.?.). ??? ??? ??????? ?? ?????????? ?????????. ? ???? ???????? ????????? ???????????????? ??, ??? ???? ???????? ?? ????, ? ?????? ??? ?????? ???????, ????????? ?? ????????. ?? ?? ?????? ?????????? ??????? ??????? ???????. ??? ??????????? ? ??????? ??????? ??????? ??????? ????????? ? ?????? ? ????????? ????, ?? ???????? ???? ? ? ?????????? ????? ???????????? ??? ??????????? ?????? ???? ????????. ??? ???????? ??????? ????????, ????????, ???????????? ??????????. ? ?? ?? ????? ?????????????? ????? ??????????? ?????? ???? ?????????? ??????????? ?????????? ??? ??????????? ??? ??????????? ?????? ?????? ??? ??????? ????. ? ????? ????????????? ??????? ?????????? ????????? ?????? ???? ??????.

Источник: http://sc548.ru/sait2015/index.html